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ARISTÓTELES

Su paradoja de las dos ruedas se puede enunciar así:


Tenemos dos ruedas cilíndricas concéntricas de pequeño espesor y solidariamente pegadas entre sí de manera que el círculo exterior de la pequeña sobresale del de la grande. Ambas superficies cilíndricas están apoyadas en sendos carriles planos.


El conjunto solidario de las dos ruedas debería poder girar para desplazarse sobre sus carriles cuando éstos soportan a ambas ruedas ya que a cada punto del círculo mayor le corresponde exactamente un punto del círculo menor, y viceversa.

Así lo plantea Pickover en “El libro de las Matemáticas”.

La imagen resulta muy ferroviaria, con balasto y todo, para apoyo del rail inferior.


En realidad, las dos ruedas son una sola mostrada, supuestamente, en sus posiciones inicial (rueda central verde) y final (rueda central rojo oscuro).

Fig.1

Fig.2

Para visualizar el fenómeno he procurado atenerme a los colores de la Fig. 1, pero construyendo el montaje de la Fig. 2 que consta, fundamentalmente, de dos elementos: Un canuto c (verde) al que van acopladas dos ruedas iguales (rojas) formando un conjunto canutero C, y una caja con sus dos bordes amarillos (los carriles de apoyo para c ).


Dicha Fig. 2 se muestra en su aspecto general sin entrar en detalles. Aquí, lo equivalente a lo del enunciado es:


C vale por el conjunto de las dos ruedas solidarias (verde y roja); c es la rueda pequeña (verde), y la rueda grande de allí es ahora la pareja de ruedas acopladas a c (las dos rojas).


Los bordes largos de la caja (amarillo oscuro) equivalen al rail superior sobre el que se apoyaba la rueda pequeña; aquí, en ellos se poya c. Obsérvese que ahora la pareja de ruedas no toca el plano del suelo que sustenta la caja, de manera que c y, por tanto, C puede avanzar libremente sobre la caja, girando y sin deslizar.


Llamaremos r y R, respectivamente, al radio de c, y al de la pareja de ruedas R. Asimismo será L = 2 π R (longitud de la circunferencia de las ruedas emparejadas) la longitud recta horizontal del desplazamiento al que se verá sometido C mientras avanza girando. Llamaré R a cualquiera de las ruedas de radio R.


En las Figs 3, 4, 5 y 6 se ve el detalle de las diferentes formas de apoyo de las ruedas en la caja